和谐点柱
对于线段 AB 的内平分线 C 和外平分线 D 满足 frac{AC}{CB}=frac{AD}{DB}，则称点 C、D 调和地分割线段 AB 或(A,B,C,D)是调和点列
若D为无穷大点，则frac{AC}{CB}=frac{AD}{DB}=1，则C为线段AB的中点四边形，且(A,B,C,infty)成为和谐点柱
属性一：
如果点C和D调和分割线段AB，M是线段AB的中点，则
1. A、B点调和分割线段CD
2. frac{1}{AC}+frac{1}{AD}=frac{2}{AB}
3. ABcdot CD=2ADcdot BC
4. CAcdot CB=CMcdot CD
属性 2：
对于线段AB的内平分线C和外平分线D以及直线AB的外点P四边形，在以下四个结论中，如果其中两个已知，则可以推导出另外两个
1. C点和D点是谐波分割线段AB
2.PCbot PD
3. PC 是 angle APB 的内角平分线
4. PD 是 angle APB 的外角平分线
属性 3：
假设通过O的线束OA、OB、OC、OD不能分别与O和A、B、C、D、A’、B’、C’、D’的两条直线l_1、l_2相交，则
(A,B,C,D) 是谐波点列表 (A’,B’,C’,D’) 是谐波点列表
此时的OA、OB、OC、OD称为谐波线束
完美的四边形
我们把四条直线和它们的六个交点组成的图形称为完全四边形
如上图，我们记录为一个完整的四边形
线段 AD、BF、CE 是它的三个对角线
属性一：（定理）
【每日一题】PD-线束完全四边形
ABE,BCD,ACF,DEF 在外接圆上有一个公共点，这个点称为一个点
属性 2：（牛顿定理形式 1）
完全四边形的三个对角线的中点共线
属性 3：
一个完整的四边形的一条对角线的两个端点在对角线所在的直线上用另外两条对角线的交点进行交集分割
如上图，(A,D,Z,X),(B,F,Z,Y),(C,E,X,Y)分别构成调和点列
（注：在下面的例子中，如果一个完整的四边形的两条对角线平行，我们默认它们的交点为无穷大，那么它仍然满足和谐的性质，不再在答案中重复）
示例 1. 假设 AD 是 ABC 的高度，而 D 在 BC 的边缘。如果 P 是 AD 上的任意一点，BP 和 CP 分别在 E 和 F 与 AC 和 AB 相交。证明：angle EDA=angle FDA
证书：
是一个完整的四边形
(E,F,H,G) 成调和点序列，而 HDbot GD
因此，HD平分angle EDF，即angle EDA=angle FDA
例 2 凸四边形 ABCD 的一组对边 BA 和 CD 的延长线相交于 M，AD 不平行于 BC，通过 M 的横截面与另一组对边所在的直线相交在 H, L, 与对角线相交的直线在 H’,L’ 中, 证明: frac{1}{MH}+frac{1}{ML}=frac{1}{MH’ }+frac{1}{ML’}
证书：
是一个完整的四边形
所以(M,F,E,N),(A,D,E,G)构成调和点序列
对于 G 点，直线 GM、GF、GE、GN 形成谐波线束
所以 (M,K,H,L) 成为调和点序列，有 frac{1}{MH}+frac{1}{ML}=frac{2}{MK}
对于 F 点，直线 FA、FD、FM、FG 形成一个调和束
所以(M,K,H’,L’)是调和点序列，有frac{1}{MH’}+frac{1}{ML’}=frac{2}{MK}
所以 frac{1}{MH}+frac{1}{ML}=frac{1}{MH’}+frac{1}{ML’}
