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1、包丁巧杰牛知识技能一、条件概率1.设A和B为两个事件，P(A)为0，称为P(B|A)=是在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率。通常，P(A|B) 被解读为在 B 发生的条件下 A 的概率。 2.条件概率的性质是：(1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0到1之间，即0P(B|A)1；( 2）如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A)。附加条件下可疑点突破事件B的概率”事件A发生”不同于没有这个附加条件的概率。升华已知A发生。在这种情况下，B发生，相当于AB。P（BA）的要求相当于将A视为一个新的基本事件空间计算AB的概率，即P(B|A)=.every
2、随机实验是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是在实验结果的部分信息已知的情况下（即在原随机实验的条件下，加上一个特定条件），求在该条件下发生另一事件的概率。 二、事件的独立性设A和B为两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A和事件B相互独立如果事件A和B相互独立，则A和，和B，也相互独立。 “P(AB)=P(A)P(B)”，表示事件A是否正确发生，事件B的概率没有影响，即P(BA)=P(B)。一般来说，如果事件A1、A2、An相互独立，那么这个事件发生的概率等于每个事件发生概率的乘积，即P()=P(A1）@ >P(A2)P(An)。公式应用的前提是两个事件相互独立
3、这样，只有当A1、A2、An相互独立时才成立。区分和比较事件的“相互排斥”和“相互独立”是两个不同的概念。两个事件“互斥”意味着两个事件不能同时发生，两个事件“相互独立”意味着一个事件的发生对另一个事件发生的概率没有影响事件。知识扩展1-P(A)P(B)表示两个相互独立的事件A和B至少有一个概率不发生。三、独立重复实验和二项分布1.独立重复实验：一般来说，相同条件下的重复实验称为子独立重复测试。 “在相同条件下”是指独立重复测试中每次测试的结果不会受到其他测试的影响。独立重复测试的常见示例是：重复抛硬币；正（子）抽样；更换取样；射手目标命中率已知的几次射击
4、.2.二项分布：一般在一个独立的重复实验中，设事件A发生的次数为X，每次实验中事件A发生的概率为 ，则在独立重复实验中，事件 A 恰好发生次数的概率为 P(X=k)=pk(1-p)n-k, k=0, 1, 2, n。此时，随机变量X称为服从二项分布。记为XB(n,p)，称为成功概率。在二项式(1-p)+pn的展开中，第一项是Tk+1=(1-p)n-kpk，可以看出P(X=k)是第一项展开二项式(1-p)+pn，所以这个公式称为二项式分布公式。当将该方法推广到解决概率问题时，一般通过以下步骤来解决：确定给定事件的性质。可以概括为经典概括、互斥事件、独立事件、独立重复实验之一； u 判断事件的运行。看sum事件，事件，确定
5、至少有一个事件发生或同时发生，所以使用加法或乘法的公式；用相应的公式求解。问题探索 问题 1 我们知道掷硬币两次并得到一个正面的概率 是的。那么抛硬币 100 次会产生 50 个正面？想法：不。事实上，随机抛硬币 100 次相当于重复 100 次试验，每次试验都有两种可能的结果（正面或反面）。正面的概率是，根据独立的重复试验中事件发生概率的公式，在 100 次随机抛掷中恰好有 50 个正面的概率为 P100(50)=()1000.08.这个事件发生的概率非常小 探索：误认为“100次抛硬币会出现50次正面”，因为“恰好一次独立重复试验”的概率模型是不明白。这里指的是100次抛硬币
6、嗯，有50个正面，所以它的概率不相等。应该是100次抛硬币至少50次正面的概率是。问题2 条件概率和相互独立的事件同时发生的概率分别是什么？相互排斥的事件和相互独立的事件有什么区别？思路：假设事件A和B发生，事件B在事件A发生的条件下发生，相当于事件A和B同时发生，即AB发生。但是，在独立事件同时发生的概率中，A 和 B 是相互独立的，它们不相互影响。在条件概率中，A和B是相关的而不是独立的，即如果B发生，那么A必然发生。互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念，两者都与两个事件相关。区别在于：“互斥事件”是指两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。因此，相互排斥的事件和相互独立的事件
7、一定要区分清楚。探索：相互独立事件的概率解一般是乘法公式的应用。应用时要注意理解和使用相互独立的事件的性质。如果事件 A 和 B 相互独立，那么 A And, 和 B, and 也相互独立。如果 A 和 B 独立解决同一个问题，A 解决问题的概率为 P1，B 解决问题的概率为 P2。找出恰好 1 个人解决问题的概率。我们要明确，“正好一个人解决问题”是指一个人解决问题教材事件，而另一个人不能解决问题，两个人独立解决问题。可以把A解决这个问题的事件记录为A，B解决问题的事件记录为B。那么需要的概率就是P(A+B)=P(A)+P(B)=P(A ) P()+P() P(B)=P1(1-P2）+P2(1-P1）. 1 (2005浙江高考)袋子A和B里面有几个制服物品
8、的红球和白球，从A抽到红球的概率是，从B抽到红球的概率是p(1)替换从A上摸球地面，每次碰到一个，如果碰到红球3次就停下来。求你碰红球正好5次的概率；记录你在5次内碰红球的次数（包括5次），并找到随机变量分布列。（2)如果A和B两袋中的球数之比为12，则将A和B中的球放在一起后，抽红球的概率是，求p值的概率思维分析：从题意来看，题(1)可以看成是一个独立的重复测试，可以通过概率公式求解独立重复测试；问题（2)属于经典一般问题，可以使用经典概率的概率公式来求解。解决方案：(1)()2()2=.随机变量的值为0,1,2,3.通过n个独立的重复测试概率公式Pn(k)=pk(1-p)n-k，得到P(=
9、0)=(1-)5=,P(=1)=(1-)4=,P(=2)=()2( 1-)3=,P(=3)=()3+()2+()2()2= 或 P(=3）=1-P(=0) -P(=1)-P(=2)=1-随机变量的分布列是0123P(2)如果袋子A有m个球，那么有2m个球B包中解概率问题的关键是找出概率的类型，所以一定要熟悉每一种类型，根据实验的特点找出实验的类型，然后用对应的公式求解例2 在某个时间的测试中，从20道题中随机抽取6道题，如果考生至少能答对4道，则通过；如果能答对至少5道，则通过获得优异成绩。已知考生可以正确回答其中的 10 道题。并且知道他已经通过了这次考试，问他获得好成绩的概率。
10、思维分析：本题为条件概率问题。在考生通过考试的前提下，他会得到一个极好的概率，所以应该按照条件概率的公式来求解。解法：设事件A为“考生答对了6道题”，事件B为“考生答对了5道题又答错了”，事件C为“考生答对了4道题，答错了2道题”，事件D 为“考生通过本次考试”，事件E为“考生本次考试成绩优秀”，则A、B、C互斥，D=ABC，E=AB。类型的概率公式和加法公式可以知道P(D)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=;P(AD)=P(A),P (BD)=P(CB);P(E|D)=P(AB|D)=P(A|D)+P(B|D)=，所以需要的概率是。使用 的误解警告
11、公式P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A)可以更容易的找到一些条件概率，但是需要注意的是这个性质是在“B和C”中只有在“互斥”的前提下才可用，所以不要忽视这个条件，乱用这个公式。例 3 两个人 A 和 B 独立破译一个密码，他们能破译密码的概率为和，求：(1）两个人能破译密码的概率；(2）The两人都无法破译密码的概率；(3）最多1个人可以破译密码的概率；(4）至少1个人破译密码的概率。思想分析：我们将“A独立解密密码”记录为事件A，将“B独立解密密码”记录为事件B。显然，A和B是相互独立的事件。问题（1）相当于事件A同时发生而B，即事件AB。问题（2）等价于事件。问题（3）“最多1人翻译密码”）相反的事件是“两人破译密码”密码
12、”，即事件AB。问题的反面事件（4）“至少1人破译密码”是“没有人破译密码”，即，事件。由于A，B是相互独立的事件。在上述问题中，B，A和，和都是相互独立的事件，相关概率可以通过公式计算。解：表示“A独立解码密码”作为事件A，“B独立翻译密码”“解密密码”记录为事件B，A和B是相互独立的事件，P(A)=,P(B)=。(1）@ > 两个人都能破译密码的概率为：P(AB)= P(A)P(B)=.(2）两人都无法破译密码的概率为：P()=P ()P()=1-P(A)1-P(B) =(1-)(1-)=.(3）“最多1人解码密码”的相反事件是“两个人破译密码”，所以最多有1个人破译密码的概率为1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1
13、-=。 (4）“至少有1人破译密码”的反面事件是“没有人破译密码”，所以至少有1人破译密码的概率为1-P()=1-P( )P()=1-=.在推广求解这类概率综合问题时，一般是“从大到小”，即把问题分成几个互斥的事件，然后概率的加法公式和乘法公式是用来解决问题的，在使用乘法公式的时候，一定要注意它们是否相互独立，并且只有在它们相互独立时才能使用乘法公式。”其他事件的概率，如果从前面考虑这些问题，它们是许多事件的总和或乘积，求解过程繁琐，但它们的相反事件往往更简单，它们的概率也很容易求出，这时候你可以反过来想, 首先求 i 的概率ts相反的事件，然后用概率和乘积的补公式求原
14、事件发生的概率，也就是如果有难度就倒过来。例4 一个人射击5次，每次命中目标的概率为0.9。求他至少击中目标两次的概率。可能性。思路分析：至少有两个命中，包括正好2个命中，正好3个命中，正好4个命中，正好5个命中。这些事件是相互排斥的。 ，并且他每次击中目标的概率相同，相互之间没有影响，所以每次射击都是一个独立的事件，所以他射击了5次，进行了5次独立的重复测试。解法：解法1：在5次射击中恰好2次命中目标的概率为0.920.13； 5 次射击中准确命中目标 3 次的概率为 0.930.@ >12； 5 次射击中有 4 次准确命中目标的概率为 0.940.1； 5次射击中5次命中目标的概率为0.91）7@>至少2次命中的概率为0.920.130.93 0.12+
15、0.940.10.95=0.008 10.072 90.328 05 所以至少击中目标 2 次的概率是 1-0.90.14-0.15 =1-< @0.000 45-0.000 01=0.999 54. 误区警报 0.920.13=<@的错误结果0.008 1.原因是事件“至少2次命中”并不意味着“有2次命中，其余的”
16、 未命中目标 3 次”，因此公式 pk(1-p)n-k 不能直接使用。该公式仅适用于寻找独立的重复测试，事件 A 发生一次，并且rest – 第二个事件 A 不发生的概率，P(A) =. 例 5 某工厂生产的电子元器件，每件产品的次品率为 5%（即每件商品出现次品的概率） ).现在从a中随机取出2件产品，次品数量的概率分布为012P，请完成上表。思路分析：由于每个产品的次品率是5 %，连续取出2件相当于2次独立重复Test，即问题中的不良品数量服从二项分布。解：从问题中，B(2,5%)，则P( =0)=(5%)0(95%)2=0.902 5,P(=1)=C12(5%)1(95%)1=0. @>095,P(=2)=(5%)2(95 %)0=0.002 1）7@>
17、所以，所需随机变量的分布为： 012P0.902 50.0960.002 5 加深升华二项分布是 离散随机变量的概率分布被广泛使用。二项分布模型可用于快速编写随机变量的分布列，简化了获取随机变量各个特定概率值的过程。因此，我们应该精通掌握二项分布。使用二项分布解决实际问题的关键是在实际问题中建立二项分布的模型，即看是否是次独立的重复实验，随机变量是否为一定值这个独立的重复实验。事件的个数，满足这两点的随机变量服从二项分布，否则不服从二项分布。例6 一个车间有10台同类型机床，每台机床配备10千瓦的电机功率。据了解，每台机床工作时，实际上平均每小时启动12分钟，
18、以及操作是否相互独立，由于供电不足，供电部门只给这10台机床提供50千瓦的电力，这10台的概率是多少机床能正常工作吗？思路分析：50千瓦的电源可以供给5台机床同时启动，10台机床同时不超过5台可以正常工作，每台机床是否相互独立，这就是独立重复实验的问题。解决方法：每台机床只有“启动”和“不启动”两种情况。开始的概率是1-。由于机床的启动是相互独立的，所以10台机床正常工作，相当于10台重复了几次实验，但是供电部门提供了50kW的功率，使得只有5台机床同时工作时间。所以 P=P10(0）+P10(1）+P10(2）+P10( 3）+P10(4）+P10(5） =()0()10+()1()9+()2()8+()3()7+ ()4()6+()5()5=0.09< @4. 所以这10台机床能正常工作的概率是0.094. 很容易忽略独立重复实验的意思，独立重复实验是指一种实验可以在相同的条件下重复，并且相互独立。每个实验只有两个结果，并且在每个实验中教材事件，事件发生的可能性都相同。
