（中国医学科学院物理系李明） 摘要：本文借助强大的物理工具——空间向量，推导出三角锥的体积公宽。内角），从这个公式得出两个结论。关键词：三角锥体积公式，倾角三角锥最大体积？ OAB 的两侧，OA?a，OB?b，其倾角?AOB?问题：如果三角锥O?ABCOA?a,OB?b,OC?c，倾角三角锥O?ABC的体积V如何使用已知的边长a,b,c和已知的倾角？体积V的公式是什么？推导出体积V的公式首先三棱锥体积公式，在图2的基础上，以三角锥O-ABC的顶点O为坐标原点，取OA的正轴，取方向为?OB?OC??? OA?OC??垂直于 ?OAB 所在的平面，我们得到以下 x、y、z 的代数方程组： ?xcos?ysin?ccos??x?ccos?证明是显而易见的，很容易看到，所以我不再重复。猜想1（等角三角锥的体积公式）如图4所示。在三角锥O?ABC中，如果三个边锥O?ABC的体积就是猜想2（三角锥的最大体积公式） )如图2所示。三角锥OA?,aO?B,bO?C,以及它们的倾角?AOB?,?BOC?,?CO?(?似乎证明了：由公式(1)，结合三个数的平均值不是一个方程，我们有?(其中t?61在上面的放大过程中，第一个“?”cos?cos?cos?所以，两个“?”成立，即得到体积最大值Vmax?cos?cos?cos?0也称为?创设，即OA、OB、OC相互垂直，9.4 金字塔体积 掌握金字塔的体积公式 推断金字塔体积公式的教具：借助几何画板制作讲义 教学过程：在实际生产中，人们经常遇到体积估计问题。例如，古希腊人在建造金字塔时，需要估算建筑材料的数量和体积。
老师：具体可以看到什么样的四面体？学习：可以看成一个金字塔。师：关于金字塔的体积，人们可以问什么样的物理问题？师：这就是我们昨晚这节课要学习的问题：如何估算金字塔的体积。探索金字塔的体积公式（一）三角锥的体积常见的三角锥是最基本的金字塔，它的状态就像六边形中的三角形，任何一个六边形总是可以分解成几个三角形，任何一个四个边 一个物体可以分解成几个三角锥，所以先探究一下三角锥的体积。师父：回忆一下，四面体的体积怎么求？学习：多面体的体积等于底除以高 学习：借助长方体的体积公式 根据祖玄原理，可以推导出多面体的体积公式 老师：如何推断三角锥的体积公式？老师：非常好。想一想，三角锥和四面体之间如何建立一定的联系？C’D’，DD’，CC’，然后三角锥补成一个三四面体。老师：请观察，是什么关系原来三角锥的体积和现在的三四面体的体积？师：从一个三角锥补充成一个三四面体。在这个过程中，加入了什么样的四面体？师：由于四棱锥的体积公式未知，是否可以进一步将四棱锥转化为三棱锥？老师：好难。小伙伴们来分析一下，这个三面体是由这些四面体组成的，研究一下：这个三面体中的四面体是：三棱锥A?DD’C，三棱锥：三棱锥A? DBC 和三棱锥 A?CC’D’ 是底等高的三棱锥。
师父：那么它们的体积是什么关系呢？你推测。学习：可能相等。师：要证明两个几何体的体积相等，可以用什么原理来证明呢？科学：祖敏原理：两个几何体夹在两个平行平面之间，如果平行于这两个平面的任意平面所截的两个横截面的面积相等，则两个几何体的体积相等。老师出示讲义，请看两个横截面会如何变化？ 10 科学：b平面平行a平面运动过程中，两个截面积仍然相等。师：知：两个金字塔的底面积都是S，高都是h。证明：把两个金字塔的底放在平面a上。任何平行于a的平面与两个金字塔顶点的距离为h1，得到的横截面积为S1、S2 科学：可以利用金字塔的性质：金字塔被一个平行的平面切割到底，所以截面积和底面积之比等于顶点到截面到顶点最终面的距离的平方的比值。因此，两个底边相等、高度相等的金字塔有相等的体积。 （三）进一步探索三角锥体积公式：有朋友已经发现三角锥A?DBC和三角锥A?CC’D’是同底同高的三角锥, 那么它们的体积是多少呢? 学习: 相等 .11 学习: 三角锥 A?CC’D’ 和三角锥 A?CDD’ 有一个共同的顶点 A，它们的底边之间的距离，所以面积相等，并且高度是点 A 到平面 DCCVA?CC’D’?VA?CD’D。
因此，三个金字塔的体积相等。老师：这是三角锥的体积公式（四）金字塔的体积公式老师：经过推理，我们一起得到了三角锥的体积公式。如何进一步推广得到体积公式金字塔的?可以找到一个底和高相同的三角锥三棱锥体积公式，并且由于两个底和高相同的金字塔体积相同，如果一个金字塔的底面积是S，高是h，那么它的体积是12（五）在推断金字塔体积过程中的重要思想分析1.互补四面体最初希望用四面体的体积来推断金字塔的体积，如何把金字塔转成四面体，要适当补正四面体。2.把四面体分割，加上一个四棱锥，为了进一步分析问题，可以分成两个三棱锥。VA ?CDD’?VC?ADD 根据需要s，该点可视为顶点，或者已知点C：立方体ABCD?，点E、F、G分别为边AB、BC、BB1的中点，则体积立方体是 a3VB?EFG?VG?BEF?Sh? “课程改革第二阶段”从概念层面不断深入到课堂实践层面。作为一线班主任，如何将先进的教育理念渗透到普通的课堂教学中？这是每一个作为一线班主任，必须面对和实践的课题。通过前期的理论学习，作者积极投身于课堂教学与实践。为了检验前期学习实践的成效，举办了教学研讨会，以及“金字塔之卷”公开课。
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“金字塔的体积”是中学生在学习了四面体的体积和金字塔的性质后，已经具备了一定的知识基础来学习金字塔的体积公式。本课例是培养中学生应用知识、发展能力的有效载体。但是如何把教材组织好、处理好，才能最大程度地满足中学生的发展需要。让我深思。因此，笔者认真仔细地阅读了教材。教科书是通过证明“两个同底同高的金字塔体积相等”命题来探索三角锥和普通金字塔的体积公式。其公式的应用。我觉得如果按照教材的设计来教学，中学生会觉得这个知识很神秘，很难，很难接受和理解，中学生就会形成各种疑惑。例如，找到金字塔的体积如何提出证明命题的问题？另外，由于中学生缺乏一定的空间想象力，更别说把三角锥拼成三四面体了，中学生没有这样的思维意识。针对中学生面临的各种困难，我重新设计了教材。根据物理发现规律和中学生认知规律组织教学，让中学生观察—-猜测———论证—-推论公式对于金字塔的体积—–公式 在知识的应用中，体验知识的发生和发展过程，培养和发展中学生灵活运用知识过程中的能力。根据这个想法，我进行了我的第一次教学。师：上面我们研究了多面体及其性质，利用祖敏原理推导出了四面体的体积公式。
1）祖伟原理：两个几何体夹在两个平行平面之间，如果平行于两个平面的平面所截的两个15截面的面积相等，那么这两个几何体的体积两个几何形状相等。 （用笔记本演示）四面体=Sh（S是四面体的底面积，h是四面体的高度）最近我们在学习金字塔及其性质，明天再学习一下体积金字塔。 2.实验观察、猜想与推理1）三四面体和三棱锥是什么关系 体积V三棱锥=四面体=Sh的推论成立吗？我们必须证明这一点。 3.探索新课，推导出三角锥的体积公式：一个三面体分成三个三角锥。如果可以证明三个三角锥的体积相等，那么具有这种特征的金字塔的体积是否相等？ （现在让我们证明命题 16） 命题：知道：两个金字塔的底都是 S，高都是 h。证明：两个金字塔的体积相等。证明：把两个金字塔的底放在平面α上，平行于α，根据祖敏原理，两个金字塔的体积相等V1=V2，所以我们观察三个三角锥，它们都是等底等高，所以，V1=V2=V3 总结：三角锥P-ABC已知，底面积是三角锥=sh 刚才我们学习了三角锥的体积公式。那么，对于一个普通的金字塔，如何求它的体积呢？让中学生想一想，注意与四面体体积公式的区别5.简单应用，知识体验1.60度，求正三角形的体积。
作为一个PO平面ABC，垂足为O，O为三角形ABC的圆心，连接AO并在D处延伸到BC，连接PD，设三角形ABC的周长为?OP?3ABC说明：求底面积和高18 例2：图片为石柱，石柱下部为正四棱锥，上部为正四面体，预期比重为2400公斤/说明：体积在现实生活中被广泛使用6.复习总结总结整理明天学习了金字塔的体积公式，V金字塔=Sh7.排列工作8.思考题已知：一个三角锥的三个边相互垂直，面积分别为6、4、3，求这个三角锥的体积。第一个反思： 1：在教学设计和教学中，班主任按照物理发现规律和中学生认知规律进行教学。班主任从中学生已有的知识出发，从三面体与三角锥的关系出发，通过观察—-猜想—-论证—-体积推论公式金字塔—-公式的应用，这条主线组织教学。班主任的带头作用是显着的，但对比“二期课改”的概念，我觉得这样的教学效果好不好？高中生真的是这样学习的吗？看似符合中学生的认知规律，但从中学生的发展来看，学生的能力和潜能的发展还是存在一定差异的。我觉得中学生并没有“真正”参与教学，只是在班主任的指导下。为了逐步达到教学19的目标，中学生的主动探究和学生的思维并没有“真正”被激活，还有些被动地接受班主任的教学设计思路和思维，缺乏一种狂野的思维和创造性的思维。
2：“二课改”所倡导的中学生学习方式的转变，在本课中并未得到充分体现。中学生的讨论、交流、探索，以及中学生的亲身经历。 ，有点做作。中学生没有得到足够的语言活动、数学思维和物理化的机会。比如：三个四面体和三角锥切补，是否应该让中学生自己练习和操作？一旦自己动手，亲身体验，印象更深刻，更容易理解。 3：多媒体与学科的有机结合是提高课堂教学效率的重要途径。这堂课使用多媒体的效果相当精彩：三棱柱分为三个三角锥，动画过程清晰：几何体的横截面从平行平面上切下，形象生动：普通金字塔分为几个三角金字塔，中学生可以更直观的理解。将思维过程生动地展现在中学生面前。但我也觉得有一些隐患。物理是一门培养学生像粉丝一样思考能力的学科。它要求中学生具有一定的空间想象能力和具体能力。过多的具体感知会影响中学生的想象力。通过第一次教学实践与反思，针对存在的问题，如：中学生学习方式的转变、中学生思维能力的激活等，如何更好地体现中学生倡导的教学理念。在“第二阶段课程改革”中，笔者重新评估了该课程的教学思考与设计。进行了第二次教学。 20一、提问激活思考者：我已经了解了金字塔和金字塔的性质。明天我们学习金字塔的体积启发中学生复习四面体V多面体的体积公式=Sh 请朋友们思考一下解题技巧，大家可以互相讨论一下，这个题你是怎么想的？不需要做精确的推论，而是想办法解决问题1：我这样认为，把金字塔P-分成几个三角锥，这样就可以解决三角形2：我这样认为，求多面体的体积，构造一个等底等高的长方体，根据祖敏原理求出四面体的体积。
是否也可以用同样的方法构造一个底和高相同的三角金字塔，根据祖玄的原理求出金字塔的体积。生3：我是这样想的，根据化学知识，把金字塔放到水底，排出的水量取决于老师：通过朋友的交流，大部分朋友都同意三个朋友，21个朋友 3个会用化学知识处理是个好主意，属于创新。但是物理是严格的，明天学习金字塔体积估计就是得到一个估计方法或公式。从学生 1 和两个朋友的交流中，我们发现了一个共同点，那就是都涉及到所需三角锥的体积。这样，问题就转化为
